资源介绍
这本书是美国数学学会当代数学丛书第592卷，出版于2013年，由Arkady Berenstein和Vladimir Retakh担任编辑，汇集了2012年1月在美国波士顿举行的美国数学学会年会上"非交换双有理几何、表示与聚簇代数"特别会议的核心成果。从书名就可以看出，这本书处在当代代数与几何交叉领域的前沿地带，它所探讨的主题——非交换双有理几何——是近年来数学研究中一个相当活跃但又相对年轻的方向，对于大多数人而言甚至可能是一个陌生的名词，但如果把它拆开来看，非交换代数、双有理几何、量子群的表示理论、聚簇代数以及自由群上的组合学，这些分支在过去二十年间各自经历了快速发展，而本书的一个核心价值恰恰在于把这些看似分散的线索编织到了一起，让读者看到它们之间深层次的内在关联。翻开目录，读者会发现书中收录的论文涵盖了相当广泛的话题：Roland Bacher和Christophe Reutenauer研究了有限域上非交换多项式环中给定余维数的右理想的计数问题，发现双变量情形下的计数恰好是Catalan数的一个q模拟，而更多变量情形则对应着Fuß-Catalan数；Bazlov和Berenstein讨论了辫双代数的上循环扭曲与扩张；Berenstein和Greenstein构造了量子Chevalley群；Berenstein、Retakh、Reutenauer和著名组合学家Zeilberger则合作研究了自由群上的倒数级数以及非交换二次方程与Catalan数之间的有趣联系；此外还有关于温和代数的半不变量、sl2三角Casimir联络的单子、自由结合代数上的双Poisson括号以及非交换二次型的秩的概念推广等内容。这些论文的作者来自俄勒冈大学、哥伦比亚大学、耶鲁大学、东北大学、曼彻斯特大学、安日大学等世界各地的数学机构，阵容相当国际化，体现了这一领域在全球范围内的广泛参与。Berenstein是俄勒冈大学的教授，长期从事量子群和聚簇代数方面的研究，而Retakh则是罗格斯大学的知名学者，两人都是非交换代数领域的活跃研究者，由他们来组织这样一本会议论文集可以说恰如其分。对于想要进入这个领域的读者来说，本书提供了一个很好的窗口，既能了解当前研究的核心问题和方法，又能感受到不同数学传统之间交流碰撞所产生的火花。当然需要指出的是，这是一本高度专业的研究性著作，每一篇论文都包含完整的定理证明和技术细节，阅读门槛相当高，适合的研究生和数学工作者最好具备一定的代数基础，比如对结合代数、李代数、表示理论的基本概念有所熟悉，才能从中获得最大的收获。对于数学物理方向的研究者来说，书中关于量子群和Poisson结构的内容同样具有参考价值。总体而言，这本书虽然不是面向大众的科普读物，但对于数学专业的研究者和高年级研究生而言，它忠实记录了一个新兴数学方向在2010年代初期的研究面貌，是理解非交换双有理几何这一交叉领域不可多得的文献资料。